美夢成真教甄討論區

第 8 題 5x^3 - 5(k + 1)x^2 + (71k - 1)x + (1 - 66k) = 0 (x - 1)[5x^2 - 5kx + (66k - 1)] = 0 令 a、b 為 5x^2 - 5kx + (66k - 1) = 0 的兩自然數根 a + b = k ab = (66k - 1)/5 = (66a + 66b - 1)/5 b = (66a - 1)/(5a - 66) 若 a 為偶數，66a - 1 為奇數，而 5a - 66 為偶數，不合 故 a 為奇數 又 66a - 1 ＞ 0，5a - 66 ＞ 0，a ≧ 15 a = 17 時，b = 59 k =...

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第 9 題
當 n→∞，y = 2^(-x) → 0，跟 x 軸貼很近
所求相當於 y = cos(2x + π) + 1/2 與正向 x 軸第一個交點與第二個交點之距離

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第 12 題
(a + b) / a = sinB / (sinB - sinA) = b / (b - a)
ab = b^2 - a^2

cos(A - B) + cosC = 1 - cos2C
cos(A - B) - cos(A + B) = 2(sinC)^2
sinAsinB = (sinC)^2
ab = c^2

利用 ab = b^2 - a^2 ，把 a 用 b 表示
再利用 ab = c^2 ，也可把 c 用 b 表示
最後可求出答案

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第 2 題 x^2 + ax + 1/x^2 + a/x + b = 0 (x + 1/x)a + b + [(x + 1/x)^2 - 2] = 0 令 t = x + 1/x，-2 ≦ t ≦ 2 ta + b + (t^2 - 2) = 0，可視為橫軸 a 軸、縱軸 b 軸的直線 a^2 + b^2 即原點到直線 ta + b + (t^2 - 2) = 0 上任一點距離的平方 = (t^2 - 2)^2 / (t^2 + 1) = [(t^2 + 1) - 3)^2] / (t^2 + 1) = (t^2 + 1) + [9/(t^2 + 1)] - 6 ≧ 5 + (9/5) - 6...

第 6 題
每六個正整數一組，代入 [n/2] + [n/3] + [n/6]
n = 1 ~ 6，總和 = 15
n = 7 ～ 12，總和 = 51
：
：
n = 2016 ~ 2022

這是一個首項 15 公差 36，有 337 項的等差數列
最後的 n = 2023 和 2024 再另外加

第 9 題
有三個未知數，但只有兩個等式，面積是不定值，連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜，畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b，應該沒其它解了，有空再來做

這張題目多，技巧性高的題目也多，做法不調整，分數會很難看