美夢成真教甄討論區

第 2 題 x^2 + ax + 1/x^2 + a/x + b = 0 (x + 1/x)a + b + [(x + 1/x)^2 - 2] = 0 令 t = x + 1/x，-2 ≦ t ≦ 2 ta + b + (t^2 - 2) = 0，可視為橫軸 a 軸、縱軸 b 軸的直線 a^2 + b^2 即原點到直線 ta + b + (t^2 - 2) = 0 上任一點距離的平方 = (t^2 - 2)^2 / (t^2 + 1) = [(t^2 + 1) - 3)^2] / (t^2 + 1) = (t^2 + 1) + [9/(t^2 + 1)] - 6 ≧ 5 + (9/5) - 6...

第 6 題
每六個正整數一組，代入 [n/2] + [n/3] + [n/6]
n = 1 ~ 6，總和 = 15
n = 7 ～ 12，總和 = 51
：
：
n = 2016 ~ 2022

這是一個首項 15 公差 36，有 337 項的等差數列
最後的 n = 2023 和 2024 再另外加

第 9 題
有三個未知數，但只有兩個等式，面積是不定值，連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜，畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b，應該沒其它解了，有空再來做

這張題目多，技巧性高的題目也多，做法不調整，分數會很難看

第 13 題 a + b + c = 5 b + c = 5 - a ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7 a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2 1/3 ≦ a ≦ 3 abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0 a = 1 or 7/3 f(1) = 3，f(7/3) = 49/27 f(3) = 3，f(1/3) = 49/27 M...

第 12 題 sinθ = a ＞ 0 cosθ = b ＞ 0 sinψ = c ＞ 0 cosψ = d ＞ 0 a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1 原題改為 a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022 = 1，求 a^2023 - d^2023 (a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022)(d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020) ≧ (a^2 + b^2)^2 = 1 等號成立於 (a/d)^2024) = (b/c)^2024，ac = bd，θ + ψ = π/2 此時 d^2022/a^2020 + c^202...

先畫雙曲線 xy = 10 和圓 (x - 5/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 1/2 之圖形
當圓半徑從 1/2 逐漸增大到圓與雙曲線相切時，有最小值
圓心 A(5/2，5/2) 和切點 B(√10，√10) 都在 y = x 上

第 6 題
外心 O、重心 G、垂心 H
HG = 2OG

以下向量符號省略
|OA + OB + OC| = |OG + GA + OG + GB + OG + GC| = 3|OG| = √3
|HA + HB + HC| = |HG + GA + HG + GB + HG + GC| = 3|HG| = 6|OG| = 2√3


第 9 題
先猜 a = b = c，第二式不合
再猜 a + b = c = 16，合
√a、√b、√c 是直角三角形之三邊長
面積 = (1/2)√(ab) ≦ (1/2)(1/2)(a + b) = 4

請參考附件

第 7 題
官方答案有誤，正確答案是 7 - √5 或 (9 - √5)/2

第 15 題
題目有問題，條件不足

第 7 題
令 f(x) = ka^x

f(x + y) = 2f(x)f(y)
ka^(x + y) = 2 * ka^x * ka^y
k = 1/2

f(x) = (1/2)a^x
f'(x) = (lna/2)a^x
f'(0) = 2，lna = 4

f''(x)/f(x) = [(1/2)(lna)^2 * a^x]/[(1/2)a^x] = 16

第 8 題
分成
(1) 三者皆 ≦ 0
(2) 僅 3|x| + 4|y| - 10 ≦ 0
(3) 僅 4|x| + 3|y| - 10 ≦ 0
(4) x^2 + y^2 - 4 ≦ 0

除了 (4) 無圖形，前三者所形成的圖形為紅色部分(圖是小畫家畫的，很醜)

飛鏢可拆成 8 個鈍角三角形，底 10/3 - 5/2 = 5/6，高 10/7，面積 25/42

所求 = 4π + (25/42) * 8 = 4π + (100/21)