美夢成真教甄討論區

第 I 題 3 紅、4 綠、5 藍 (1) 先求紅、藍、綠依次被取完的情形 由於最後一顆是綠，剩 3 紅、3 綠、5 藍 在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法 剩 8 個空格，因為紅要比藍先取完，最後 1 個空格放 1 藍 剩 3 紅 和 4 藍，有 C(7，3) = 35 種放法 紅、藍、綠依次被取完的情形有 165 * 35 = 5775 種 (2) 再求紅球取完前，只先取出零顆或一顆藍球 在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法 剩 3 紅 和 5 藍，有以下 4 種放法 紅紅紅藍藍藍藍藍 藍紅紅紅藍藍藍藍 紅藍紅紅藍藍藍藍...

第 E 題
相當於扇形塗色
一個圓用其半徑分割成 n (n ≥ 2) 個相異扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色。
每一扇形塗一色，相鄰扇形皆異色，顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用。
塗法數 a_n = (k - 1)^n + (-1)^n * (k - 1)

此題的 n = k = 6

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第 O 題，答案更改為 12

第 5 題
可參考 yymath 老師的解法
https://math.pro/db/thread-3820-2-1.html

第 2 題 2(cosx)^2 + sin2x - 2sin2xcos2x = 1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x 令 sin2x + cos2x = t，易知 -√2 ≦ t ≦ √2 2sin2xcos2x = (sin2x + cos2x)^2 - 1 = t^2 - 1 1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x = -t^2 + t + 2 = -(t - 1/2)^2 + 9/4 t = -√2 時，有最小值 -√2 第 4 題 2 ~ 2024 這 2023 個正整數中，有 1011 個奇數、1012 個偶數 裁判擦去一個奇數的機率...

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官方修正答案
填充第 5 題 無窮多個
填充第 6 題 4320

若 a = 0，那麼 b 也一定是 0
這樣只過三點，與題意不合

佩爾方程，說來話長，您可參考九章出版的趣味數論 (單墫 著) 這本書的 P120

第 1 題 x^2 + xy + y^2 = 5 5 - xy = x^2 + y^2 ≧ 2|xy| xy - 5 ≦ 2xy ≦ 5 - xy -5 ≦ xy ≦ 5/3 x^2 - xy + y^2 = 5 - 2xy ...... 第 7 題 BC 中點 O，直線 PO 和 AD 交於 Q △PQD 和 △PMO 全等 (AAS) PO = x，PQ = 20 - x，PM = √(x^2 - 100) 20 - x = √(x^2 - 100) x = 25/2 剩下的就簡單了 ...... 第 8 題 1 個 8：8 2 個 8：88 3 個 8：888 : : k 個 8：888...

第 4 題 A^(-1) =[ a b ] [ c d ] A^(-1) *[ 1 ] [ 0 ] = [ 1 ] [ 3 ] A^(-1) *[ 1 ] [ 0 ] = [ a ] [ c ] 可得 a = 1，c = 3 同理可得 b 和 d 第 8 題 E[(X + 1)^2] = E(X^2) + 2E(X) + 1 = 8 E(X^2) = 5 Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4 Var(1 - 3X) = 9Var(X) 第 19 題 (A) 56 ≡ 1 (mod 11) 56^111 - 1 ≡ 1^111 - 1 ≡ 0 (mod 11) (B) 2...