5題數學問題

[thomson0815]

從別的版上看到,自己試看看但無法解答,有請指點 謝謝

1.某加油站有三位員工，從今年1月1日起規定，第一位員工每工作3
天休息一天，第二位員工每工作5天休息二天，第三位員工每工作7
天休息三天，當三人都休息時，必須另聘二位臨時工，當有二人休息
時，必須另聘一位臨時工，但只有一人休息時，則不需另聘臨時工，
請問今年共需聘請臨時工多少人次？
ANS：81

2.已知一個九位數為ABCDEDCBA，它既可以被11整除，也可以被3整除
，並且A＞B＞C＞D＞E＞0，試求最小的數為多少？
ANS：854212458

3.某人沿著雙軌電車旁踏單車，每隔12分鐘就有ㄧ輛電車從後
面超過他，每4分鐘有電車迎面駛來，若人、車速度不變，那麼，
每隔多少分鐘有電車從兩面的總站同時開出？
ANS：6分鐘

4.甲乙丙三隻螞蟻爬行的速度比是8：6：5，他們沿一個圓圈從一點同
時同向爬行，當他們首次同時回到出發點時，就結束爬行，問螞蟻甲
追上螞蟻乙共幾次？（包括結束時刻）
ANS：2次

5.一根長為L的木棍，用紅色刻度線將他分為M等分，用黑色刻度線將
他分為N等分（M＞N），如果按照刻度線將木棍鉅成小段，一共可以得
到170跟長短不一的小棍，其中較長的小棍有100根，試求M與N值。
ANS：M＝135 N＝40

[thepiano]

第 1 題
看完題目就昏了
不過應該不難


第 2 題
A + C + E + C + A = B + D + D + B + 11
2(A + C) + E = 2(B + D) + 11
故 E 必為 1 or 3 or 5

(1) E = 5
987656789 非 3 之倍數，不合

(2) E = 3
A + C = B + D + 4
A + B + C + D ≡ 0 (mod 3)
(i) A = 7
A + B + C + D = 7 + 6 + 5 + 4 ≡ 1 (mod 3)，不合
(ii) A = 8
4 + C = B + D
B，C，D 從 7 ～ 4 取
易知無一符合
(iii) A = 9
5 + C = B + D
B，C，D 從 8 ～ 4 取
易知僅 965434569 符合所求

(3) E = 1
A + C = B + D + 5
A + B + C + D ≡ 1 (mod 3)
(i) A = 5
A + B + C + D = 5 + 4 + 3 + 2 ≡ 2 (mod 3)，不合
(ii) A = 6
1 + C = B + D
B，C，D 從 5 ～ 2 取
易知無一符合
(iii) A = 7
2 + C = B + D
B，C，D 從 6 ～ 2 取
易知無一符合
(iv) A = 8
3 + C = B + D
B，C，D 從 7 ～ 2 取
易知僅 854212458 符合所求
以下就不用再做了 ......


第 3 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36629


第 4 題
甲乙丙速度比是 8：6：5
故牠們首次同時回到出發點時，甲繞了 8 圈，乙繞了 6 圈，甲繞了 5 圈
每多繞一圈就追過 1 次


第 5 題
先從紅色刻度線鋸，會得到題目裡的"較長的小棍"

再從黑色刻度線鋸，之前那 M 根"較長的小棍"中，會有一些被鋸成"長短不一的小棍"
而每根"較長的小棍"都被鋸成 2 根"長短不一的小棍"

(1)易知 M = 100 + (170 - 100)/2 = 135

(2) 由 (1) 知，有 35 根"較長的小棍"被鋸成"長短不一的小棍"
故 N - 35 = (135，N)
由於 (135，N) 是 N 的因數，所以 (135，N) 也是 35 的因數
(135，N) 是 135 和 35 的公因數
(135，N) = 1，5
(i) (135，N) = 1，N = 36
(135，36) = 9 不合
(ii) (135，N) = 5，N = 40
(135，40) = 5 合

[thepiano]

第 1 題
做苦工的題目，教甄不會考吧？

設第一位員工在今年的第 a 天休假，第二位員工在今年的第 b 天休假，第三位員工在今年的第 c 天休假
1 ≦ a，b，c ≦ 365

則
a ≡ 0 (mod 4)
b ≡ 0 (mod 7)，b ≡ 6 (mod 7)
c ≡ 0 (mod 10)，c ≡ 9 (mod 10)，c ≡ 8 (mod 10)

有二人同時休假的情形
(1) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 0 (mod 7)
a = b = 28，56，84，......，364
計 13 種
(2) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 6 (mod 7)
a = b = 20，48，76，......，356
計 13 種
(3) a ≡ 0 (mod 4)，c ≡ 0 (mod 10)
a = c = 20，40，60，......，360
計 18 種
(4) a ≡ 0 (mod 4)，c ≡ 8 (mod 10)
a = c = 8，28，48，......，348
計 18 種
(5) b ≡ 0 (mod 7)，c ≡ 0 (mod 10)
b = c = 70，140，210，......，350
計 5 種
(6) b ≡ 0 (mod 7)，c ≡ 9 (mod 10)
b = c = 49，119，189，......，329
計 5 種
(7) b ≡ 0 (mod 7)，c ≡ 8 (mod 10)
b = c = 28，98，168，......，308
計 5 種
(8) b ≡ 6 (mod 7)，c ≡ 0 (mod 10)
b = c = 20，90，160，......，300
計 5 種
(9) b ≡ 6 (mod 7)，c ≡ 9 (mod 10)
b = c = 69，139，209，......，349
計 5 種
(10) b ≡ 6 (mod 7)，c ≡ 8 (mod 10)
b = c = 48，118，188，......，328
計 5 種

有三人同時休假的情形
(11) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 0 (mod 7)，c ≡ 0 (mod 10)
a = b = c = 140，280
計 2 種
(12) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 0 (mod 7)，c ≡ 8 (mod 10)
a = b = c = 28，168，308
計 3 種
(13) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 6 (mod 7)，c ≡ 0 (mod 10)
a = b = c = 20，160，300
計 3 種
(14) a ≡ 0 (mod 4)，b ≡ 6 (mod 7)，c ≡ 8 (mod 10)
a = b = c = 48，188，328
計 3 種

由於第 (11) 種情形在 (1)，(3)，(5) 都算過一次了
2 - (1 + 1 + 1) = -1

故所求 = (13 + 13 + 18 + 18 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) - (2 + 3 + 3 + 3) = 81