115 高科實中_國中部

[thepiano]

請參考附件

[LS0722]

各位老師好，想詢問第10、14、15、16題的做法。
另外解答沒有第18題的答案，我自己算是1683種，想詢問一下我的答案是否正確。
謝謝各位老師！

[thepiano]

第 10 題
任一自然數可表為 10x + y，其中 x 是非負整數，y 是 0 ~ 9 的整數
若 (10x + y)^2 = x^2 * 100 + 2xy * 10 + y^2 的十位數是偶數
則 y^2 的十位數必為偶數，此時 y = 0、1、2、3、5、7、8、9
1999 / 10 = 199 ... 9
所求 = 8 * 199 + 7 = 1599


第 14 題
a < b < c

a + b < 2c
由條件 (3)，a + b 是 c 的倍數
a + b = c

由條件 (2)，c + a = a + b + a < 3b 是 b 的倍數
a + b + a = 2b
b = 2a
c = 3a

2026 > a + b + c = 6a
a < 1013/3
所求為 337 組


第 15 題
令 P(x) = 9x^2 + bx + c
n 的每一位數都是 1，令 n = (10^m - 1) / 9，其中 m 是正整數
P(n) = 9n^2 + bn + c = 9[(10^m - 1) / 9]^2 + b[(10^m - 1) / 9] + c = [10^2m + (b - 2)10^m - (b - 9c - 1)] / 9 的每一位數都是 1
令 10^2m + (b - 2)10^m - (b - 9c - 1) = 10^k - 1，其中 k 是正整數
k = 2m，b = 2，c = 0
P(x) = 9x^2 + 2x


第 16 題
令 m，n 是 x^2 + ax + 1996 = 0 的兩個整數根
m + n = -a
mn = 1996 = 1 * 1996 = 2 * 998 = 4 * 499 = (-1)(-1996) = (-2)(-998) = (-4)(-499)
a = -1997、-1000、-503、1997、1000、503

x^2 + 1996x + a = 0 有兩個整數根
故 1996^2 - 4a 是完全平方數

(1) a = -1997
1996^2 - 4a = 1996^2 + 4 * 1997 = (1996 + 2)^2

(2) a = -1000
1996^2 - 4a = 1996^2 + 4000
1997^2 = (1996 + 1)^2 < 1996^2 + 4000 < 1998^2
1996^2 + 4000 非完全平方數

其餘的 a 做法同上，均非完全平方數


第 18 題
您的答案正確