我想請教老師第9 16 19 22 25 35這6題
謝謝
99中區
版主: thepiano
Re: 99中區
第 9 題
先把某個點數刻上去
它的對面有 5 種刻法
再把剩下 4 種點數中的某個點數刻上去
它的對面有 3 種刻法
最後剩下 2 種點數，有 2 種刻法
所求 = 5 * 3 * 2
第 19 題
設此外切直角三角形之兩股為 a 和 b，斜邊為 c
圓心分別與直角三角形之三頂點連線，把直角三角形分成 3 個小三角形
此 3 個小三角形的面積分別是 a/2，b/2，c/2
易知 (a + b + c) / 2 = ab / 2
a^2 + b^2 ≧ 2ab
ab ≦ (a^2 + b^2) / 2 = c^2 / 2
a = b 時，該直角三角形之面積有最小值
a^2 + b^2 = c^2
2a^2 = c^2
c = (√2)a = (√2)b
a + b + c = (2 + √2)a
ab = a^2
a^2 = (2 + √2)a
a = 2 + √2
所求 = (2 + √2)^2 / 2 = 3 + √2
第 22 題
z^2 = (x - y)^2 - 1 ≧ 0
(x - y)^2 ≧ 1
該曲面上任一點至原點之距離為 √(x^2 + y^2 + z^2)
x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (x - y)^2 - 1 = 2(x - y)^2 + 2xy - 1 ≧ 2 + 2xy - 1 = 2xy + 1
等號成立於 z = 0，x - y = 1 or -1 時
2xy + 1 = 2x(x - 1) + 1 = 2(x - 1/2)^2 + 1/2
x = 1/2 時有最小值 1/2
or
2xy + 1 = 2x(x + 1) + 1 = 2(x + 1/2)^2 + 1/2
x = -1/2 時有最小值 1/2
(x，y，z) = (1/2，-1/2，0) = (-1/2，1/2，0) 時，√(x^2 + y^2 + z^2) 有最小值 √(1/2)
第 35 題
n / (n^4 + n^2 + 1) = n / [(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)] = (1/2){[1/(n^2 - n + 1)] - [1/(n^2 + n + 1)]}
所求 = (1/2)(1 - 1/3 + 1/3 - 1/7 + 1/7 - 1/13 + ......) = 1/2
另外兩題沒學過，請學過的老師幫忙 ......
先把某個點數刻上去
它的對面有 5 種刻法
再把剩下 4 種點數中的某個點數刻上去
它的對面有 3 種刻法
最後剩下 2 種點數，有 2 種刻法
所求 = 5 * 3 * 2
第 19 題
設此外切直角三角形之兩股為 a 和 b，斜邊為 c
圓心分別與直角三角形之三頂點連線，把直角三角形分成 3 個小三角形
此 3 個小三角形的面積分別是 a/2，b/2，c/2
易知 (a + b + c) / 2 = ab / 2
a^2 + b^2 ≧ 2ab
ab ≦ (a^2 + b^2) / 2 = c^2 / 2
a = b 時，該直角三角形之面積有最小值
a^2 + b^2 = c^2
2a^2 = c^2
c = (√2)a = (√2)b
a + b + c = (2 + √2)a
ab = a^2
a^2 = (2 + √2)a
a = 2 + √2
所求 = (2 + √2)^2 / 2 = 3 + √2
第 22 題
z^2 = (x - y)^2 - 1 ≧ 0
(x - y)^2 ≧ 1
該曲面上任一點至原點之距離為 √(x^2 + y^2 + z^2)
x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (x - y)^2 - 1 = 2(x - y)^2 + 2xy - 1 ≧ 2 + 2xy - 1 = 2xy + 1
等號成立於 z = 0，x - y = 1 or -1 時
2xy + 1 = 2x(x - 1) + 1 = 2(x - 1/2)^2 + 1/2
x = 1/2 時有最小值 1/2
or
2xy + 1 = 2x(x + 1) + 1 = 2(x + 1/2)^2 + 1/2
x = -1/2 時有最小值 1/2
(x，y，z) = (1/2，-1/2，0) = (-1/2，1/2，0) 時，√(x^2 + y^2 + z^2) 有最小值 √(1/2)
第 35 題
n / (n^4 + n^2 + 1) = n / [(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)] = (1/2){[1/(n^2 - n + 1)] - [1/(n^2 + n + 1)]}
所求 = (1/2)(1 - 1/3 + 1/3 - 1/7 + 1/7 - 1/13 + ......) = 1/2
另外兩題沒學過，請學過的老師幫忙 ......
Re: 99中區
第 11 題
令 BC，AC，AB 三邊上的高分別是 h_a，h_b，h_c
BC：AC：AB = sinA：sinB：sinC
h_a：h_b：h_c = cscA：cscB：cscC
而 h_a = 3x，h_b = 3y，h_c = 3z
......
第 17 題
圓內接三角形中以正三角形，面積最大
可自行證明看看 ......
第 21 題
由圓錐頂點往下直切，切面是一個長方形內接於一個等腰三角形
長方形的長是圓柱的直徑，寬是圓柱的高
等腰三角形的底是圓錐的直徑，高是圓錐的高
設圓柱半徑 r，高 h
(3 - r) / 3 = h / 1
h = 1 - r/3
圓柱體積 = πr^2h = πr^2(1 - r/3)
微分知 r = 2 時，有最大值
令 BC，AC，AB 三邊上的高分別是 h_a，h_b，h_c
BC：AC：AB = sinA：sinB：sinC
h_a：h_b：h_c = cscA：cscB：cscC
而 h_a = 3x，h_b = 3y，h_c = 3z
......
第 17 題
圓內接三角形中以正三角形，面積最大
可自行證明看看 ......
第 21 題
由圓錐頂點往下直切，切面是一個長方形內接於一個等腰三角形
長方形的長是圓柱的直徑，寬是圓柱的高
等腰三角形的底是圓錐的直徑，高是圓錐的高
設圓柱半徑 r，高 h
(3 - r) / 3 = h / 1
h = 1 - r/3
圓柱體積 = πr^2h = πr^2(1 - r/3)
微分知 r = 2 時，有最大值
..想請教老師Re: 99中區
第二題 查wiki
代數基本定理說明，任何一個一元復係數多項式都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。
有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次復係數多項式，都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是「至少有一個根」的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有n個根。
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BB%A3 ... A%E7%90%86
代數基本定理說明，任何一個一元復係數多項式都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。
有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次復係數多項式，都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是「至少有一個根」的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有n個根。
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BB%A3 ... A%E7%90%86
Re: 99中區
十六題 這一題我查完wiki還是沒有看懂，高斯曲率。
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%AB%98 ... 2%E7%8E%87
25題 也是沒有看過，
google -->連通集 http://v.ku6.com/show/yoGx0iY_Ckys_HX2.html 大陸的教學影片，還在研究中。
有沒有先進可以請教一下，可以查什麼書上有詳細的介紹。 是高微嗎?
29 題 也有些不太懂，為何答案是4，我是寫1也。不是x=0代入是f(0)=0嗎。還是我弄錯了。
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%AB%98 ... 2%E7%8E%87
25題 也是沒有看過，
google -->連通集 http://v.ku6.com/show/yoGx0iY_Ckys_HX2.html 大陸的教學影片，還在研究中。
有沒有先進可以請教一下，可以查什麼書上有詳細的介紹。 是高微嗎?
29 題 也有些不太懂，為何答案是4，我是寫1也。不是x=0代入是f(0)=0嗎。還是我弄錯了。