2023澳洲AMC題目

[han]

各位老師您好，
我想請教五個題目的解法：
初級30題答案810
中級29題答案375
中級30題答案170
高級25題答案E
高級29題答案330
謝謝。

[thepiano]

初級第 30 題
小姍喜歡的數是由數碼 1、2、4、5、7、8 組成
所求即由數碼 1、2、4、5、7、8 組成的四位數中，有幾個不是 3 的倍數

用數碼 1、2、4、5、7、8 組成的四位數有 6^4 = 1296 個

先算出其中有幾個 3 的倍數，再扣掉
1、4、7：除以 3 餘 1
2、5、8：除以 3 餘 2

(1) 四個數碼，四同：0 個

(2) 四個數碼，三同一異：0 個

(3) 四個數碼，二同二同：9 * 4!/(2!2!) = 54 個
(1、1、2、2)、(1、1、5、5)、(1、1、8、8)、......、(7、7、8、8)

(4) 四個數碼，二同二異：6 * 3 * 4!/2! = 216 個
(1、1、2、5)、(1、1、2、8)、(1、1、5、8)、......、(8、8、4、7)

(5) 四個數碼，四異：9 * 4! = 216 個
(1、2、4、5)、(1、2、4、8)、(1、2、7、5)、......、(4、5、7、8)

所求 = 1296 - 54 - 216 - 216


中級第 29 題
從大輪圓心 A，往地面作垂線，垂足 B
從小輪圓心 C，往地面作垂線，垂足 D
直線 AB 交地面於 E
B、D、E 共線

AB = 105、CD = 70、AC = 120，求 BE
......


中級第 30 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=22459


高級第 25 題
三個半徑為 2 的球之三球心 A、B、C，可連成一邊長 4 的正△ABC
正△ABC 的重心 G，往平面作垂線，垂足 H
則 GH 過小球球心 D

設小球半徑 DH = r
GH = 2，DG = 2 - r，DA = 2 + r
GA = (2/3) * (√3/2) * 4 = (4/3)√3
利用 DG^2 + GA^2 = DA^2，可求出 r

[han]

謝謝thepiano老師的解法，我懂了。