請問99年台北縣9,10.11.12,13,15,17
謝謝各位大大
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10,12,15,17己會了,
目前尚有9,10,13三題請各位大大幫忙,謝謝!
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第 9 題
若 n 非完全平方數，且它的正整數因數有 m 個
P(n) = n^(m/2)，可頭尾相乘來看
648 = 2^3 * 3^4，其正因數有 20 個
P(648) = (2^3 * 3^4)^10
第 11 題
319 ≡ 19 (mod 100)
319^99 ≡ 19^99 (mod 100)
用二項式定理展開 19^99，只有最後 2 項不是 100 的倍數
19^99 = (20 - 1)^99 ≡ [C(99，98) * 20] - 1 ≡ 79 (mod 100)
第 13 題
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
即 a 是 x^5 - 1 = 0 之複數根
a^5 = 1
a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0
(a^4 + 1)(a^3 + 1)(a^2 + 1)(a + 1)
= (a^7 + a^4 + a^3 + 1)(a^3 + a^2 + a + 1)
= (a^2 + a^4 + a^3 + 1)(a^3 + a^2 + a + 1)
= (-a - 1 + 1)(-a^4)
= a^5
= 1
若 n 非完全平方數，且它的正整數因數有 m 個
P(n) = n^(m/2)，可頭尾相乘來看
648 = 2^3 * 3^4，其正因數有 20 個
P(648) = (2^3 * 3^4)^10
第 11 題
319 ≡ 19 (mod 100)
319^99 ≡ 19^99 (mod 100)
用二項式定理展開 19^99，只有最後 2 項不是 100 的倍數
19^99 = (20 - 1)^99 ≡ [C(99，98) * 20] - 1 ≡ 79 (mod 100)
第 13 題
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
即 a 是 x^5 - 1 = 0 之複數根
a^5 = 1
a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0
(a^4 + 1)(a^3 + 1)(a^2 + 1)(a + 1)
= (a^7 + a^4 + a^3 + 1)(a^3 + a^2 + a + 1)
= (a^2 + a^4 + a^3 + 1)(a^3 + a^2 + a + 1)
= (-a - 1 + 1)(-a^4)
= a^5
= 1