114 高雄女中

[thepiano]

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第 10 題
(x - 5)f(x) = x^3(x + k)^2 - 5x^2 + ax + b
x = 2 和 5 代入
8(k + 2)^2 + 2a + b - 20 = 0 ..... (1)
125(k + 5)^2 + 5a + b - 125 = 0 ..... (2)

f(x) = [x^3(x + k)^2 - 5x^2 + ax + b] / (x - 5)
= x^4 + (2k + 5)x^3 + [(k + 5)^2]x^2 + (5k^2 + 50k + 120)x + (25k^2 + 250k + a + 600)
f'(x) = 4x^3 + 3(2k + 5)x^2 + 2[(k + 5)^2]x + (5k^2 + 50k + 120)
x = 2 代入
32 + 12(2k + 5) + 4(k + 5)^2 + 5k^2 + 50k + 120 = 0 ...... (3)

由 (1)、(2)、(3) 可解出
(k，a，b) = (-4，4，-20) or (-26/3，-1220/3，4300/9)

所求 ka + b = -36 or 36020/9

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第 8 題
四個方向，共 4^4 = 256 種情形，分類計算

(1) 四同：4 種，曼距都是 4

(2) 三同一異：C(4，1) * C(3，1) * 4!/3! = 48 種
類似”東東東西”是曼距 2 的有 16 種，類似”東東東南”是曼距是 4 的有 32 種

(3) 二同二同：C(4，2) * 4!/(2!2!) = 36 種
類似”東東西西”是曼距 0 的有 12 種，類似”東東南南”是曼距是 4 的有 24 種

(4) 二同二異：C(4，1) * C(3，2) * 4!/2! = 144 種，曼距都是 2

(5) 四異：4! = 24 種，曼距都是 0

統計一下
曼距 0：36 種，機率 9/64
曼距 2：160 種，機率 5/8
曼距 4：60 種，機率 15/64

第 2 小題 期望值 600


第 11 題
sinA + cosA = sinB + cosB
兩邊平方，可得
ㄥA = ㄥB 或 ㄥA + ㄥB = 90 度 ( cosC = 0，不合)

sinA + cosA = 3cosC
兩邊平方，可得
1 + sin2A = 9(cosC)^2 = 9(-cos2A)^2 = 9[1 - (sin2A)^2]
所求 sinC = sin2A = 8/9