97玉井商工

[happier]

請教一題
設向量a=(1,1,1)，向量b=(0,2,-1)，向量c=(4,-4,1)，r,s為實數，求絕對值ra+sb+c之最小值。
謝謝。

[HonggWei]

請問答案為√14嗎?

[HonggWei]

ra+sb+c = c+( ra+sb) ∴ ra+sb+c 的座標可表為 (4,-4,1) +
r (1,1,1) +s(0,2,-1) = (4,-4,1) +k ,
而k為由r (1,1,1) +s(0,2,-1)所組成的平面E上之任一向量
∵(1,1,1)、(0,2,-1)為平面E上的向量
∴平面E的法向量N=(1,1,1)cross(0,2,-1) =(3, -1, -2)
由上述可得知ra+sb+c之最小值= c．N/∣N∣=(4,-4,1) ．(3, -1, -2)/√3^2+(-1) ^2+(-2) ^2=√14
以上為幾何解法　此外也可用代數法表∣ra+sb+c∣再對r、s個別做偏微分並聯立之　代回去也可得出解答

[thepiano]

原題即是求 √[(r + 4)^2 + (r + 2s - 4)^2 + (r - s + 1)^2] 之最小值

而 (r + 4)^2 + (r + 2s - 4)^2 + (r - s + 1)^2 之最小值可用 Cauchy Inequality 求出為 14