質數與不定方程

版主: thepiano

回覆文章
M9331707
文章: 101
註冊時間: 2009年 1月 24日, 18:31

質數與不定方程

文章 M9331707 »

1.設n>1,證明:1+(1/3)+(1/5)+...+(1/2n-1)不是整數
2.解x^2+x=y^4+y^3+y^2+y的全部整數解
3.解3^x+4^y=5^z 的全部整數解

頭像
thepiano
文章: 5549
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 質數與不定方程

文章 thepiano »

第 1 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33415


第 2 題
(2x + 1)^2 = 4(y^4 + y^3 + y^2 + y) + 1 = (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = (2y^2 + y)^2 + 3y^2 + 4y + 1

易知 y < -1 或 y > 2 時,(2y^2 + y)^2 < (2x + 1)^2 < (2y^2 + y + 1)^2
但上式不可能成立

故考慮 -1 ≦ y ≦ 2 即可


第 3 題
可先解決以下這題,不算容易,您先試試!
求 2^x + 3^y = z^2 的所有非負整數解


原題應是求所有"正整數解"
3^x + 4^y ≡ 1 (mod 3)
若 z 為正偶數,5^z ≡ 1 (mod 3)

3^x + 2^(2y) 為一完全平方數

所求僅有 x = y = z = 2 一解

回覆文章

回到「高中職教甄討論區」