美夢成真教甄討論區

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第 O 題，答案更改為 12

第 E 題
相當於扇形塗色
一個圓用其半徑分割成 n (n ≥ 2) 個相異扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色。
每一扇形塗一色，相鄰扇形皆異色，顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用。
塗法數 a_n = (k - 1)^n + (-1)^n * (k - 1)

此題的 n = k = 6

想請問填M,I,J

第 I 題
3 紅、4 綠、5 藍

(1) 先求紅、藍、綠依次被取完的情形
由於最後一顆是綠，剩 3 紅、3 綠、5 藍
在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法
剩 8 個空格，因為紅要比藍先取完，最後 1 個空格放 1 藍
剩 3 紅 和 4 藍，有 C(7，3) = 35 種放法
紅、藍、綠依次被取完的情形有 165 * 35 = 5775 種

(2) 再求紅球取完前，只先取出零顆或一顆藍球
在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法
剩 3 紅 和 5 藍，有以下 4 種放法
紅紅紅藍藍藍藍藍
藍紅紅紅藍藍藍藍
紅藍紅紅藍藍藍藍
紅紅藍紅藍藍藍藍
紅球取完前，只先取出零顆或一顆藍球的情形有 165 * 4 = 660 種

所求 = 1 - [(5775 - 660)/5775] = 31/35


第 J 題
對邊長度兩兩相同的四面體(等腰四面體)，其六個兩面角的餘弦值之和 = 2
所求 = 2[2 - (-1/2)] = 5


第 M 題
ω = t(-√3 + 4i) + (2 - 2t)i = -√3t + (2t + 2)i
在複數平面上，ω 的圖形是直線 2x + √3y = 2√3

z^8 = -1/2 + (√3/2)i 的 8 次方根 = cos[(3k + 1)π/12] + isin[(3k + 1)π/12]
在複數平面上，z 所形成的 8 個點在單位圓上

畫圖可知當 k = 1 時，z = 1/2 + (√3/2)i，點 z(1/2，√3/2) 到直線 2x + √3y = 2√3 有最小距離 (4√21 - 5√7)/14

請問老師第K題要怎麼做呢？謝謝

第 K 題
a = (x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 3x)^(1/5)
b = (x^3 + 3x^2 + 4x + 1)^(1/3)

a - b = (a^15 - b^15)/(a^14 + a^13b + ... + ab^13 + b^14)

a^15 - b^15 的最高次項是 -6x^14
a^14 + a^13b + ... + ab^13 + b^14 的最高次項是 15x^14

取完極限，答案是 -2/5