95建中

[M9331707]

1. x為R,(x-2)(x+1)的小數點第一位四捨五入,得到整數5x+1,求x=? Ans:32/5,-2/5
2. 已知m個相異正偶數與n個相異正奇數之總和為1971,求3m+4n的最大值 Ans:220

[thepiano]

第 1 題
5x + 1 為整數，x 的十分位為 2 or 4 or 6 or 8

5x + (1/2) ≦ (x - 2)(x + 1) ＜ 5x + (3/2)
(6 + √46) / 2 (= 6.39...) ≦ x ＜ (6 + √50) / 2 (= 6.53...)
(6 - √50) / 2 (= -0.53...) ＜ x ≦ (6 - √46) / 2 (= -0.39...)

x = -0.4 or 6.4


第 2 題
設 a_1 + a_2 + ...... + a_n + b_1 + b_2 + ...... + b_m = 1971
a_1 + a_2 + ...... + a_n ≧ 1 + 3 + ...... + (2n - 1) = n^2
b_1 + b_2 + ...... + b_m ≧ 2 + 4 + ...... + 2m = m^2 + m
m^2 + m + n^2 ≦ 1971
(m + 1/2)^2 + n^2 ≦ 1971.25
3m + 4n = 3(m + 1/2) + 4n - 1.5
再利用柯西不等式可求出 3m + 4n 之最大值 = 220

[M9331707]

第 1 題
5x + 1 為整數，x 的十分位為 2 or 4 or 6 or 8

5x + (1/2) ≦ (x - 2)(x + 1) ≦ 5x + (3/2)
(6 + √46) / 2 (= 6.39...) ≦ x ≦ (6 + √50) / 2 (= 6.53...)
(6 - √50) / 2 (= -0.53...) ≦ x ≦ (6 - √46) / 2 (= -0.39...)

x = -0.4 or 6.4
紅色部分應該沒有等號吧?
第 2 題
設 a_1 + a_2 + ...... + a_n + b_1 + b_2 + ...... + b_m = 1971
a_1 + a_2 + ...... + a_n ≧ 1 + 3 + ...... + 2(n - 1) = n^2
b_1 + b_2 + ...... + b_m ≧ 2 + 4 + ...... + 2m = m^2 + m
紅色部分為什麼不是等號呢?
m^2 + m + n^2 ≦ 1971
(m + 1/2)^2 + n^2 ≦ 1971.25
3m + 4n = 3(m + 1/2) + 4n - 1.5
再利用柯西不等式可求出 3m + 4n 之最大值 = 220

[thepiano]

第 1 題
已更正


第 2 題
1 + 3 + ...... + (2n - 1) 是 n個相異正奇數之和的最小情形
因為 1，5，9，......，4n - 3 之類的，也是 n 個相異正奇數